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Einführung in Computational Engineering – Vorlesung 5

Autoren: Andrej Felde und Thomas Hesse

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Folien zur Vorlesung 5: Link
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Aufzeichnung der Vorlesung 5 mit Dozent: Link
Aufzeichnung der Vorlesung 5 ohne Dozent: Link
Übung 4: Link

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Wir haben in der Vorlesung das Beispiel zu dem inversen Pendel gesehen! Nun wird der bisher gelernte Stoff anhand einer einfachen gewöhnlichen Differentialgleichung wiederholt. Sei dafür die Differentialgleichung . Dieses System hat bei eine Sprungstelle und ist dort nicht definiert. Sei dafür . Die durch die Systemmatrix beschriebene Funktion ist links in dem Plot abgebildet. Im Folgendem werden wir nur noch diese Differentialgleichung betrachten.

Stabilität

Im folgendem wird der Eigenwert der Systemmatrix berechnet. Die Systemmatrix ist jedoch ein skalar, man kann diese also als eindimensionale Diagonalmatrix verallgemeinern und sofort den einzigen Eigenwert des System ablesen. Dieser ist mit gegeben. Offensichtlich existiert ein , für das gilt , sodass dieses System instabil ist.

Steifheit

Das System ist nicht steif, da und damit für das Steifheitsmaß gilt und ist. Man beachte, dass solch ein Fall durchaus auch für Differentialgleichungssysteme auftreten kann und damit nicht nur auf Differentialgleichungen 1-ter Ordnung beschränkt ist!

Linearisierung um einen Punkt

Zuerst bestimme man das lineare System um den Arbeitspunkt . Dazu stelle man zuerst die Jakobi Matrix des Systems auf. Das ist in diesem Falle der Gradient ! Damit ergibt sich das System .

Linearisierung um die Gleichgewichtslage(n)

Die Gleichgewichtslagen befinden sich bei . Einsetzen in den Gradienten ergibt

und damit ergibt sich auch gleich das linearisierte System um die Gleichgewichtslage

.

Linearisierung um Referenztrajektorie

Bei der Linearisierung um die Referenztrajektorie betrachten wir ein System über einen zeitlichen Verlauf von Zuständen hinweg. Dies ist gerade die allgemeine Linearisierung um einen Punkt , wobei wir die Trajektorie als zeitliche Abfolge von Systemzuständen betrachten. Folgend noch Beispiele für Referenztrajektorien und wie man sich diese vorstellen kann.

Selbstest

1. Ein System heisst stabil, wenn... wenn man mit einer begrenzten Eingabe, eine unbegrenzte Ausgabe erreichen kann.wenn man mit einer begrenzten Eingabe, eine begrenzte Ausgabe erreichen kann.wenn man auf eine begrenzten Eingabe, *IMMER* eine begrenzte Ausgabe erreicht.
2. Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert ist...x(t) = exp(t)x(t) = exp(0.5*t)x(t) = exp(t) + 0.5x(t) = exp(0.5*t) + 1
3. Der Eigenwert der Lösung der Differentialgleichung ist...10.750.50.25
4. Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert ist… stabil.instabil.
5. Dir werden die Eigenwerte Deines Systems gegeben. Diese sind alle reell und ein paar auch positiv. Das heisst, dass System… … ist stabil und konvergiert zu einer Ruhelage.… ist instabil und konvergiert nach unendlich.… ist stabil und schwingt.… ist instabil und schwingt.
6. Dir werden die Eigenwerte Deines Systems gegeben. Diese haben alle reelle und einige auch konjugiert komplexe Werte. Der Realanteil ist bei allen negativ (d.h., weder null noch positiv). Das heisst, dass System... … ist stabil und konvergiert zu einer Ruhelage.… ist instabil und konvergiert nach unendlich.… ist stabil und schwingt.… ist instabil und schwingt.
7. Wettrüsten zwischen der Schweiz und einer toleranten Supermacht ? Nehmen wir an, dass die beide Abrüsteten . Die tolerante Supermacht hat eine Aufrüstrate , d.h., sie reagiert nicht auf die Schweiz. Sie hat aber zur Abschreckung konstante Aufrüstbeiträge . Die Schweiz plant keinen Krieg, also hat sie Aufrüstbeiträge . Aber sie hat eine Aufrüstrate um gegen gewachsen zu sein. Was passiert? Die Schweiz kann die Supermacht in ihre Rüstung mit beeinflussen, d.h., es gibt einen stabil Gleichgewichtspunkt hängt von a,m mit ab. Supermacht Y wird unendlich stark.Die Schweiz X wird eine Grossmacht.(0,d/n) ist ein stabiler Gleichgewichtpunkt. D.h. die Supermacht steuert die Rüstung der Schweiz.
8. Numerische Berechnung von Jacobimatrizen ist … …nicht nötig, da jede differenzierbare Funktion einfach ableitbar ist....nötig, wenn wir keinen Zugriff auf die zu differenzierende Funktion haben!…nötig, da wir nicht von jeder analytischen Funktion die Ableitung ausrechnen können.
9. Die Sovietunion hatte vor Gorbatschow bereits deutlich mehr Atomwaffen als die USA bzw. der ganze Westen mit etwa . Nach Antritt von Gorbatschow senken bald sowohl die USSR als auch die USA ihre Rüstungsausgaben auf erhalt des Status Quo, d.h., und . Als die START-Veträge auch noch Abrüsteten von etwa 10% bei Nuklearwaffen vorsahen, d.h., und , waren amerikanische Militärs sehr genervt. Warum? Weil es wirklich bald keine Atomwaffen mehr gegeben hätte (X=Y=0).Weil die Soviets besser dran gewesen wären (Y>X)Weil die Raten der Soviets besser waren, da n<m.
10. Nach Antritt von Gorbatschow senken bald sowohl die USSR als auch die USA ihre Rüstungsausgaben auf erhalt des Status Quo, d.h., und . Die START-Verträge sahen auch noch Abrüsteten von etwa 10% bei Nuklearwaffen vor, d.h., und . D.h., die Eigenwerte sind 0.86 und 0.92. Ist diese Lösung steif? JaNein
11. Kann ein System mit Haftreibung, d.h., linearisiert werden? Ja!Nein!VielleichtMit Subgradienten
12. Wir fügen in das Cart-Pole System zusätzliche Federn mit ein um das Pendel immer oben zu halten. Wir wissen dass die Gravitation war. Für welche Federkonstanten bleibt das Pendel stabil oben bei ? K = - mg/lK < - mg/lK > - mg/l

(:antwortchecker:)

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